Buenos Aires SOS

A=\left\{ 青,黄,赤\right\} と書きます。, つまり、集合\( A\)に属するどんな元をとってきても、集合\(B \)に属する元をたった一つ対応づけることができ、その対応ルールが写像\(f \)といいます。写像を関数ということもあります（高校数学まででは、関数と呼んだ方が親しみがあるでしょう）。, \( f\)が集合\( A\)から集合\( B\)への写像である、といったときには、集合\( A\)の異なる元が集合\( B\)の同じ元に対応付けられていても構いませんし（上図みどりの元）、集合\( B\)のなかで集合\( A\)の元に対応付けられないものがあっても構いません（上図オレンジの元）。, 「信号機の色」という集合\( A\)を\begin{equation}A=\left\{ 青,黄,赤\right\}\end{equation} この記事では，選択公理の主張がどのような場面で用いられるのか，かんたんな例を紹介する． 目次 1 可算部分集合1.1 定理 4.2.11.2 誤った例2 全射と単射2.1 定理 4.2.22.2 系 4.2.33 射影3.1 定義 4.2. \end{equation} 2.2 写像 §2.2.1 . 全射と単射 全射 関数f: X ! 0 270 0 obj <>/Filter/FlateDecode/ID[<35E5A46130461046805DB9136DF8B753><72F7158D6E48874F996E151B604E493B>]/Index[246 44]/Info 245 0 R/Length 114/Prev 166655/Root 247 0 R/Size 290/Type/XRef/W[1 3 1]>>stream

\begin{equation} 全射と単射： 例えば, X = Rとし, 関数f,g: R → Rを 「あみだくじ」は全射？単射？ 荒木徹(電子情報理工学科) 離散数学I 第7 回 2019 年度 12/22. 図5．単射の例. （2）全射性，単射性から，もとの関数についての様々な性質が導ける, （1）関数方程式から全射性または単射性を示す Copyright 2020 - WIIS.

All rights reserved. All Rights Reserved. ここで，$z=f(y)-a$ をひとかたまりと見る。 $f$ が全射なので任意の $z$ に対して $z=f(y)-a$ を満たす $y$ が存在することに注意すると，任意の実数 $z$ について， 行き先の候補となるどんな元 $y$ を持ってきても $f(x)=y$ となる $x$ が存在するとき，$f(x)$ は全射であると言う。

中学、高校で関数というのを習いましたよね。例えば、 y=2x+1 y=xlogx+x y=sinx+cosx とかがありますよね。つまり関数というのは入力した値 x によって何らかの処理がされて y として出力される仕組み、さらに簡単に言うと何かしらの値 x を入れたら、何らかの値 y が返ってくる魔法の箱となりますよね。 y のことを f(x) と書くことも多いですよね。これは「入力した値 x に関係 fを適用したもの」と言えるからです。 また、関数の入力 x が取りうる値の範囲を定義域といい、関数の出力 f(x) が取りうる値の範 …

合成写像. 全射と単射 全射 関数f: X ! (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"集合・位相入門","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/41kAbeI-q1L.jpg","\/31UQdzRUSlL.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/4000054244","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1251300","rakuten":"1249750","yahoo":"1251299"},"eid":"EQLYd","s":"s"}); 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。. Share on twitter. \begin{equation} そこで，任意の実数 $x$ に対して，$y=-f(x)$ とおいて関数方程式に代入すると， 「信号機の意味」という集合\(B \)を\begin{equation}B=\left\{ 進んでよし,安全なら止まれ,止まれ\right\}\end{equation} \end{equation} endstream endobj startxref 「あみだくじ」は全射？単射？ 荒木徹(電子情報理工学科) 離散数学I 第7 回 2019 年度 12/22. となるので，$f(x)$ は全射。なぜなら，$x$ が実数全体を動くとき，左辺は実数全体を動くので，$f$ の値域は実数全体。, よって． $f(a)=0$ となる $a$ が存在するので，もとの関数方程式に $x=a$ を代入する： \end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を\(A\)から\(B\)への単射（injection）や1対1の写像（one-to-one-mapping）などと呼びます。上の定義を、\begin{equation*} \forall a,a^{\prime }\in A:\left[ f\left( a\right) =f\left( a^{\prime }\right) \Rightarrow a=a^{\prime }\right] Share on twitter. 実際，$f(x)=f(y)$ のとき $ax+b=ay+b$ となり，$x=y$ となる。, 三角関数 $f(x)=\sin x$ は単射でない。

おすすめフォント保存版！WindowsとMacそれぞれの見やすいフォントをまとめました。, エンハンスト・インデックスファンド(Enhanced Index Fund, EIF)とはなにか。インデックスファンドとの2つの共通点と1つの違い。. 全射の定義の $y$ を自分で好きに決めることができるので，関数方程式を変形することができます。特に，$y=0$ とする場合が多いです。, $f(f(x))=f(x)+2f(0)$ という関数方程式において，$f(x)$ が全射なら，$f(a)=0$ となる $a$ が存在するので，もとの関数方程式に $x=a$ を代入すると $f(0)=2f(0)$ より $f(0)=0$ が分かる。, $f(f(x))=f(x+x^3)$ という関数方程式において，$f(x)$ が単射なら，$f(x)=x+x^3$ が分かる。, 定義域が実数全体であり，出力も実数であるような関数 $f$ であって，任意の実数 $x,\:y$ に対して以下を満たす関数を全て求めよ： Aの集合とBの集合それぞれの元の数を考えていましょう。先ほども言ったように、行先にダブりが存在しないということは... 【写像】写像の基本！＜大学数学＞　でも説明した通りに、写像は移動前（今回の場合では集合Ａ）のすべての元に対して定義される、つまり、Aの元はすべてその写像によって移される先が決まっていることから、, 単射を満たす場合、Aの元の数の方がBの元の数よりも少ない、ということが分かります。, これでなんとなく、単射について分かったでしょうか。もし分からない場合は、こちら→　【写像】写像の基本！＜大学数学＞　から復習をお勧めします！, $\forall b \in B,　\exists a \in A　s.t. ・ $f(g(x))$ が単射→ $g(x)$ が単射 前のページ. \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の定義域に属する異なる要素の中に、\(f\)によるそれらの像が等しいものが存在するということです。, 写像\(f:A\rightarrow B\)の終集合の要素\(b\in B\)を任意に選んだとき、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす定義域の要素\(a\in A\)が存在することを保証できる場合には、すなわち、\begin{equation*} \forall b\in B,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right) \end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を\(X\)から\(Y\)への全射（surjection）や\(X\)から\(Y\)の上への写像（onto-mapping）などと呼びます。, 逆に、写像\(f:A\rightarrow B\)が全射でないこととは、上の定義の否定である、\begin{equation*} \exists b\in B,\ \forall a\in A:b\not=f\left( a\right) \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の終集合の要素の中に、\(f\)の定義域のいかなる要素の像でないものが存在するということです。, 写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、この\(f\)が全射であるか否かを問わず、終集合を\(B\)から\(R\left( f\right) \)に制限して\(f:A\rightarrow R\left( f\right) \)とすれば、これは必ず全射になります。実際、写像の値域は、\begin{equation*} R\left( f\right) =\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\} \end{equation*}と定義されるため、\(b\in R\left( f\right) \)を任意に選ぶと、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)が必ず存在します。つまり、\begin{equation*} \forall b\in R\left( f\right) ,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right) \end{equation*}が成り立つため、\(f\)は全射です。, 復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合\(A\)と定義域\(D\left( f\right) \)は常に一致する一方で、終集合\(B\)と値域\(R\left( f\right) \)は一致するとは限りません。しかし、写像\(f\)が全射の場合には、その終集合と値域もまた常に一致します。実際、任意の\(b\in B\)に対して、\begin{eqnarray*} b\in R\left( f\right) &\Leftrightarrow &\exists a\in A:b=f\left( a\right) \quad \because R\left( f\right) \text{の定義} \\ &\Leftrightarrow &b\in B\quad \because \text{全射の定義} \end{eqnarray*}となるため\(R\left( f\right) =B\)が成り立ちます。, 写像\(f:A\rightarrow B\)が単射かつ全射であるとき、すなわち、\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ \forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\Rightarrow f\left( a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right] \\ &&\left( b\right) \ \forall b\in B,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right) \end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には\(f\)を\(A\)から\(B\)への全単射（bijection）と呼びます。, 全単射\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、\(f\)が全射であることから、これに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす定義域の要素\(a\in A\)が必ず存在します。ここで、\(a\)とは異なる\(A\)の要素\(a^{\prime }\)についても\(b=f\left( a^{\prime }\right) \)が成り立つものと仮定します。すると\(f\left( a\right) =f\left( a^{\prime }\right) \)となりますが、\(f\)が単射であることから\(a=a^{\prime }\)となり矛盾です。したがって、\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\)は一意的です。逆に、それぞれの\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)が一意的に定まるとき、\(f\)は全単射になります（演習問題にします）。以上を踏まえると、写像が全単射であることを以下のように表現できます。, 先に確認したように、この写像\(f\)は単射かつ全射であるため、全単射です。実際、\(B\)のすべての要素に対して\(A\)の要素から矢印が伸びているとともに、\(B\)のそれぞれの要素に対して伸びている矢印は1本ずつであるため、やはり\(f\)は全単射です。, 繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その終集合を\(B\)から\(R\left( f\right) \)に制限して\(f:A\rightarrow R\left( f\right) \)とすれば、これは必ず全射になります。単射もまた写像であるため、単射の終集合を値域に制限すれば全射になるため、それは全単射になります。つまり、単射から全単射を生成することができます。, 復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*} a\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow f\left( a\right) =b \end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(f\)による\(b\)の逆像であり、これは\(A\)の部分集合です。上の命題では\(a\)を\(f^{-1}\left( b\right) \)の要素としていますが、これを少し限定して、\(a\)が\(f^{-1}\left( y\right) \)の唯一の要素であるとしても命題は成り立つでしょうか。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*} f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \Leftrightarrow f\left( a\right) =b \end{equation*}という関係は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、これは成り立つとは限りません。, 一方、写像\(f:A\rightarrow B\)が全単射である場合には、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*} f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \Leftrightarrow f\left( a\right) =b \end{equation*}という関係もまた常に成り立ちます。, 次回は写像が単射、全射、全単射であるための条件や、それに関連して左逆写像や右逆写像などの概念について解説します。, 有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。, 皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。, 定義域の異なる要素に対して異なる像を定める写像を単射を呼びます。終集合のそれぞれの要素が定義域の要素の像になるような写像を全射と呼びます。単射かつ全射であるような写像を全単射と呼びます。, 集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。\(A\)のそれぞれの要素に対して\(f\)が定める像は異なるため、この\(f\)は単射です。, 集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)と\(3\)の両方から\(b\)へ矢印が伸びています。つまり、\(f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b\)であるため、この\(f\)は単射ではありません。, 写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}, 写像\(f:A\rightarrow B\)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}, 集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。\(B\)のすべての要素に対して\(A\)の要素から矢印が伸びているため、この\(f\)は全射です。, 集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(b\)へ伸びている矢印が存在しないため、この\(f\)は全射ではありません。, 写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E_{++}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}, 上の例の写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E_{++}\)の終集合を\(E_{++}\)から\(\mathbb{N} \)に縮小して\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)とすると、これはもはや全射ではありません。実際、例えば、終集合の要素\(3\in \mathbb{N} \)に対しては、\(3=2x\)すなわち\(3=f\left( x\right) \)を満たす自然数\(x\)は存在しません。つまり、\begin{equation*}, 繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が包含写像であるとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}, 包含写像\(f:A\rightarrow B\)が\(A=B\)を満たすとき、これを, 写像\(f:A\rightarrow B\)が任意に与えられたとき、\(f:A\rightarrow R\left( f\right) \)は全射である。ただし、\(R\left( f\right) \)は\(f\)の値域である。, 写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であるならば、\begin{equation*}, 写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、それぞれの\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)が1つずつ存在することは、\(f\)が全単射であるための必要十分条件である。, 集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。, 写像\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}, 上の例の写像\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)から\(\mathbb{R} \)へ拡大して\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}\)とすると、これは全単射ではありません。実際、\(f\)の終集合の要素である正の実数\(4\)を選ぶと、それに対して\(4=x^{2}\)すなわち\(4=f\left( x\right) \)を満たす実数\(x\)は\(2\)と\(-2\)の二通り存在します。, 繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow A\)が恒等写像であることとは、\begin{equation*}, 単射\(f:A\rightarrow B\)が任意に与えられたとき、\(f:A\rightarrow R\left( f\right) \)は全単射である。ただし、\(R\left( f\right) \)は\(f\)の値域である。, 写像\(f:A\rightarrow B\)が全単射であるならば、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}, ユーザー名とメールアドレスを入力して有料（500円/月）のプレミアム会員へアップグレードすることにより、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ（命題の証明や演習問題、解答など）へのアクセスが可能に。.

図7．全単射の例 \end{equation*}と言い換えることもできます。, 逆に、写像\(f:A\rightarrow B\)が単射でないこととは、上の定義の否定である、\begin{equation*} \exists a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\wedge f\left( a\right) =f\left( a^{\prime }\right) \right] そのほか、独学でのアプリ開発の経験や光回線についての記事も発信中！！. 写像\(f:A\rightarrow B\)の定義域に属する異なる要素\(a,a^{\prime }\in A\)を任意に選んだとき、\(f\)によるそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \)もまた異なることが保証される場合には、つまり、\begin{equation*} \forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\Rightarrow f\left( a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right] $写像f:A \rightarrow B$は、$\forall a,a^{´}\in A$に対し、, $$a \neq a^{´} \Rightarrow  f(a) \neq f(a^{´})$$, $$f(a) = f(a^{´}) \Rightarrow a = a^{´}$$, Aの元である$a, a^{´}$について、それらが同じものでないとき、写像で行った先も別になるよ、ということを言っているのです。, つまり、Aの元から写像によって移る先にダブり（重複）が存在しない、ということです。. 289 0 obj <>stream

Copyright 2020 - WIIS. Share on email. この時注意してほしいのは、Aのそれぞれ違う元から行く先が同じであっても良いということです。つまり、単射の条件を満たしていなくても構わないということです。, ここまで読んで、単射と全射について理解した人であれば、全単射について分かるかと思います。, このように、全単射の場合はきれいに行先が決まっているかなり特殊な場合であることが分かるかと思います。, 単射、全射、全単射というのは、数学を学ぶのみならず、ほかの分野でも幅広く応用される数学の基本でもあるので、しっかりと押さえましょう。以下復習です。, まずは、直観的に各用語を理解していきましょう！単射、全射、全単射と聞いてまず、この図がイメージできるようにしていくことが大切です。, もうすぐ社会人。数学、最近は特に統計学やデータサイエンスにまつわる記事を誰にでも分かりやすくをコンセプトに執筆しています。

h�b```������@��(�����arJC���09gŘn�K�'��Qּ����������Hv00X�8P]H@���bNe4cb��x�q�:�jƛ-q>aX˰l�:����f罃hge`�����H�10e�if��pK��:_AU� a#+� 全単射. という対応関係を考えることができます。\( A\)の元のどれをとっても、\( B\)の元が1つ決まっているので、\( f\)は写像です。, 高校数学まででは実数のなかで関数\( y=f(x)=x^2\)のようなものを考えていたので、上の例はやや不思議に思えるかもしれません。もちろん、実数の集合\( \mathbb{R}\)について、\( x\in \mathbb{R}\)に対して\( x^2\in \mathbb{R}\)を対応付ける規則は、\(\mathbb{R} \)から\(\mathbb{R} \)への写像であり、我々が高校数学で習った\( f(x)=x^2\)のことです。, \(f:A\to B\)を写像として、\( a\in A\)で\( f(a)=b\)のとき、\( b\)は\( a\)の像である、といいます。もっとくだけた表現では、\( a\)は\( b\)に行く、ということもあります。\( b\)は集合\( A\)から来ている、と表現することもあります。, 部分集合\( S\subset A,T\subset B\)に対して、\( S\)から来ているもの全体の集合を\( S\)の像といい、\( f(S)\)と表します。つまり\begin{equation}f(S)=\left\{ f(a)|a\in S\right\}\end{equation} とすると、\( A\)から\( B\)への写像\( f\)として\begin{equation}f(青)=進んでよし,f(黄)=安全なら止まれ,f(赤)=止まれ\end{equation} 復習になりますが、写像f:A→Bが全単射である場合、それぞれのb∈Bに対してb=f(a)を満たすa∈Aが1つずつ存在するため、fによるbの逆像f−1(b)が常に1点集合であることが保証されます。したがって、全単射の逆写像は必ず存在します。 上の命題の逆も成立します。つまり、写像f:A→Bの逆写像f−1:B→Aが存在するとき、fは全単射になります。対偶を示しましょう。つまり、fが全単射でない場合には逆写像f−1が存在しないという主張です。ただし、fが全単射でないことは、fが単射でないか全射でないかの少な … 注意5.2 X を空でない集合, f,g: X → X をX からX への写像とする. 前のページ. なぜなら，$x=0,y=\pi$ とすると，$f(x)=f(y)=0$ だが $x\neq y$ である。, 注意：例えば，$\sin x$ は $0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ の区間で考えれば単射になる。つまり，考える定義域，終域によって全射性，単射性は変わってくる。以下で扱う関数方程式の文脈では，多くの問題で定義域と終域が一致しており，実数全体または有理数全体となっている。そこで以下では定義域と終域が共に実数全体，または共に有理数全体の場合であることを暗黙の了解としている。, 関数方程式は，数学オリンピックで頻出の分野です。 246 0 obj <> endobj (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"代数学1　群論入門 (代数学シリーズ)","b":"","t":"","d":"https:\/\/m.media-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/41yYKpYACqL.jpg","\/41ZIZx0Sh4L.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/dp\/4535786593","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1251300","rakuten":"1249750","yahoo":"1251299"},"eid":"MJtcQ","s":"s"}); 上記テキストの参考文献に挙げられている本で、集合や写像に関するより詳しい内容を扱ったテキストとして、以下もおすすめです。. 本記事では、写像の種類「単射・全射・全単射」について、それらの定義の違いを整理し、例を用いて理解します。 単射と全射は、イメージできるようになるまで何度も定義を見直すことで、徐々に自分の中で消化されていきます。 焦らず繰り返し触れていきましょう。 本記事では『代数学1 h�bbd```b``��A$S�d� �,�A$��� 0;��,b&U��G0�&��*׃U�H�(��2������ˀ$cl.��_H���a`���F������ �h

です。また、\(T \)の元に行くもの全体の集合を\( T\)の逆像といい、\( f^{-1}(T)\)と表します。つまり\begin{equation}f^{-1}(T)=\left\{ a\in A|f(a)\in T\right\}\end{equation}です。, \(f:A\to B\)が写像であるためには、\( A\)の元に対して\( B\)の元がたった1つだけ定まっている必要があります。ある\( A\)の元を取った時、それが\( B\)の複数の元に対応してしまうような場合、それは写像とは呼びません。\(f:A\to B\)が写像であるといったときは、「\( A\)の元はすべて、\( B\)の元のどれか一つに行く」ことを意味しています。, \( a,a’\in A\)にたいして\( f(a)=f(a’)\)ならば\( a=a’\)である、という条件が満たされるとき、\( f\)は単射であるといいます。「行く先が同じなら、来るもとが同じ」と表現してもよいでしょう。, この条件は\( a\neq a’\)ならば\( f(a)\neq f(a’)\)であるという条件と同じです（もとの条件の対偶）。, くだけた表現をすれば「\( A\)の異なる元は\( B\)の異なる元に行く」「来る元が違えば行く元も違う」ということです。, 任意の\( b\in B\)に対し\( a\in A\)があり\( f(a)=b\)となるとき、\(f \)は全射であるといいます。つまり「\( B\)のすべての元が\( A\)から来ている」「\( B\)の元は必ず\( A\)のいずれかの元に対応付けられている」ということです。, \(f:A\to B\)が写像であっても、\( A\)の元に対応付けられない\( B\)の元が存在することはあります。しかし\( f\)が全射であれば、\( B\)の元は必ず\( A\)の元から来るといえます。, \( A=\mathbb{R}\)から\( B=\mathbb{R}\)への写像\( f\)として、\( x\in A=\mathbb{R}\)に\( x^2\in B=\mathbb{R}\)を対応付けるもの（\( f(x)=x^2\)）を考えましょう。このとき\( -2\in B=\mathbb{R}\)ですが、\( x^2=-2\)となる\(x \)は\( A=\mathbb{R}\)の中にありませんので、「\( B\)のすべての元が\( A\)から来ている」とはいえません。したがって\( f\)は全射ではありません。, 集合\( A\)から集合\(B \)への全単射写像があるとき、集合\( A\)と集合\(B \)は「一対一に対応する」といいます。, \( f\)が写像であるとき「\( A\)の元はすべて、\( B\)の元のどれか一つに行く」といえます。ただし、同じ行き先かもしれないし、\( A\)の元から来ない\( B\)の元があるかもしれません。, しかし、\( f\)が単射のときは「\( A\)の異なる元は\( B\)の異なる元に行く（行き先が同じ\( A\)の元はない）」といえますし、\( f\)が全射のときは「\( B\)のすべての元が\( A\)から来ている」といえます。, したがって、\( f\)が全単射であるとき、\( A\)と\( B\)の元はそれぞれ一対一に対応するのです。. 行き先の候補となるどんな元 y を持ってきても f(x)=y となる x が存在する性質を全射と言います。ここでいう「行き先の候補」は状況によりますが，例えば，実数全体 R や有理数全体 Qです。 全射は「行き先を全て埋め尽くす関数」というイメージです。 $f(y)=2a+f(f(y)-a)$ f(a) = b$, この定義だと正直何を言っているのかさっぱり分からないと思うので、もう少し分かりやすく説明したいと思います。, まず、この定義が言っていることは、Bの元において、その写像を考えたときにあまりとなる元が存在しないということ。, 図２の場合を見てもらうと分かる通り、Bにはその写像と関係のない元が残ってしまっています。これが一つもない状況を全射と言います。, AとBの元の数の関係性をそれぞれ考えてみましょう。Bの元で余るものが出てきてしまってはいけないのが全射の条件なので、当然Aの方がBよりも元の数は多くなるはずです。よって、Aの元の方がBの元よりも数が多いのが、前提の条件となります。, 補足. $z+a=2a+f(z)$，つまり $f(z)=z-a$ が得られる。, よって，解の候補としては傾きが $1$ の一次関数 $f(x)=x-A\:(A$ は任意の実数)のみ。 数学の全射、単射、全単射の見分け方がわかりません。問題はR→Rの時1次関数や二次関数や三次関数、x乗の時はどのようになるのでしょう。 n773n_hさん※対象の関数をy=f(x)とします. $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$, 任意の実数 $x,y$ に対して関数方程式が成立するので，自分の好きな $x,y$ を代入しても成り立つ。

§5.全射, 単射と合成写像 3 よって, 等式 h (g f) = (h g) f がなりたつ.

Share on email. %PDF-1.5 %���� $f(0)-2x=f(f(-f(x))-x)$ このとき, 2つの合 成写像g f,f g: X → X を考えることができるが, f g = g f がなりたつとは限らない. 全射.

次回は写像が単射、全射、全単射であるための条件や、それに関連して左逆写像や右逆写像などの概念について解説します。 次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題（プレミアム会員限定） Share on facebook. \mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,\ldots\right\} 次回は写像が単射、全射、全単射であるための条件や、それに関連して左逆写像や右逆写像などの概念について解説します。 次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題（プレミアム会員限定） Share on facebook. %%EOF 写像 写像 (mapping), 関数 (function): 集合,が与えられたとき、全ての各々の∈ (の1

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